არატრივიალური წერტილოვანი სიმრავლეები ნამდვილ რიცხვთა ღერძზე

ავტორი: მარიამ ბერიაშვილი
საკვანძო სიტყვები: წერტილოვანი სიმრავლეები, ამორჩევის აქსიომა, კონტინუუმ ჰიპოტეზა, მარტინის აქსიომა
ანოტაცია:

XX საუკუნის დასაწყისში ნამდვილმნიშვნელობიან ფუნქციათა თეორიამ თვისებრივად ახალი ცვლილებები განიცადა. მიმდინარეობდა ინტენსიური კვლევები, რის შედეგადაც წარმოიშვა სიმრავლეთა დესკრიფციული თეორია. ეს თეორია შეისწავლის სიმრავლეებსა და ფუნქციებს, რომლებიც მეტნაკლებად ეფექტურად, ანუ ამორჩევის აქსიომის გარეშე აიგებიან. ამ მიმართულებით შემოღებული იქნა სიმრავლეთა და ფუნქციათა გარკვეული კლასები: ბორელის სიმრავლეები და ბერის ფუნქციები, ლებეგის აზრით ზომადი ფუნქციები, ანალიზური და კოანალიზური სიმრავლეები, პროექციული სიმრავლეები და ა.შ. ჩემს მიერ წარმოდგენილია აღნიშნული თეორიის კლასიკური შედეგები, რომლებიც მათემატიკურ ლოგიკასა და მათემატიკის საფუძვლებს უკავშირდება. ასევე ჩემს მიერ განხილული იქნება უაღრესად საინტერესო და მნიშვნელოვანი წერტილოვანი სიმრავლეები, როგორებიცაა: ვიტალის სიმრავლე, ბერნშტეინის სიმრავლე, ჰამელის ბაზისი ლუზინის სიმრავლე, სერპინსკის სიმრავლე და სხვ. ეს სიმრავლეები გამოიყენება ნამდვილი ცვლადის ფუნქციათა თეორიაში, ზომის თეორიაში და ტოპოლოგიაში. ასეთი სიმრავლეების აგებისათვის საჭირო ხდება დამატებით სიმრავლურ-თეორიული აქსიომების შემოტანა. ვიტალის სიმრავლის, ბერნშტეინის სირმავლის, ჰამელის ბაზისის ასაგებად საჭიროა ამორჩევის აქსიომის არათვლადი ფორმა, ხოლო ლუზინის სიმრავლისა და სერპინსკის სიმრავლის ასაგებად დამატებით სიმრავლურ -თეორიული აქსიომები.